第七课 三角函数

本节课是关于三角函数在Lua编程中的应用，结合了数学原理与代码实践。以下是课程内容的总结：

​一、基础数学概念​

1. ​角度与弧度​
   • ​角度​：一个圆分为360份，每份为1度。
   • ​弧度​：基于圆的半径定义，180度 = π弧度，90度 = π/2弧度。
   • 关键转换公式：
     • math.rad(角度)：将角度转换为弧度。
     • math.deg(弧度)：将弧度转换为角度。
2. ​圆周率π​
   • math.pi提供精确的π值（约3.1415926），用于计算圆的周长、面积和圆柱体积等。

​二、三角函数​

1. ​基本定义（基于直角三角形）​​
   • ​sinθ = 对边/斜边​
   • ​cosθ = 邻边/斜边​
   • ​tanθ = 对边/邻边​
2. ​Lua函数调用规则​
   • 所有三角函数（math.sin, math.cos, math.tan）​必须传入弧度值，不能直接使用角度。
   • 示例：local radians = math.rad(30) -- 将30度转为弧度 local sin_value = math.sin(radians) -- 输出0.5

​三、反三角函数​

1. ​作用​：已知比例值，反推角度。
   • math.asin(x)：返回弧度值，x需在[-1,1]范围内。
   • math.acos(x)：同上。
   • math.atan(x)：x可为任意实数，返回弧度在(-π/2, π/2)之间。
2. ​输出为弧度，需用math.deg()转换为角度：local angle_deg = math.deg(math.asin(0.5)) -- 输出30度

​四、其他数学工具​

1. ​向下取整math.floor​
   • 直接舍弃小数部分（非四舍五入）。
   • 示例：
     • math.floor(3.9) = 3
     • math.floor(-2.1) = -3
2. ​椭圆周长计算​
   • 需长半轴a和短半轴b。
   • 简易公式：周长 ≈ π * (a + b)
   • 高精度公式（Ramanujan近似）：周长 ≈ π * [3(a+b) - √((3a+b)(a+3b))]

​五、实战应用（代码示例）​​

1. ​三角形路径移动​
   • 通过顶点坐标和三角函数计算移动轨迹。
   • 使用GUI动画函数实现周期性运动。
2. ​圆形环绕效果​
   • 实时更新位置：x = 圆心x + 半径 * math.cos(角度) y = 圆心y + 半径 * math.sin(角度)
   • 结合自转与公转，实现武器环绕角色效果。
3. ​椭圆轨迹​
   • 扩展圆形公式，引入长轴a和短轴b：x = a * math.cos(角度) y = b * math.sin(角度)
   • 动态缩放实现视觉效果变化。

​六、重点注意​

• 三角函数必须使用弧度，注意角度转换。
• 反三角函数返回值为弧度，需二次转换。
• 椭圆、圆形等路径运动需结合实时坐标更新与数学计算。
• 多使用math模块内置函数简化计算（如math.pi, math.sqrt）。

通过本课，你应掌握三角函数的基本原理、Lua中的调用方法，以及如何应用这些知识实现游戏中的复杂运动轨迹。如有疑问，建议回看代码实战部分并结合实际练习。