Lua利萨如曲线：双频振动的参数轨迹

【语法算法】

先抛一个坑：两个不同频率的往复振动，画在同一根横轴和同一根纵轴上，会走出什么图形？答案是利萨如曲线——频率比不同图形完全不同，整数比闭合，非整数比永不重复。示波器、老科幻片的装饰纹样、舞台灯光里全是它的身影。这篇把利萨如曲线整套写法拆开：参数方程、频率调节、轨迹收放、调试按钮，一段一段照抄能跑。

一、效果演示

演示场一支光笔在画布上走出利萨如轨迹。点「频率A+1」或「频率B+1」改变频率比——椭圆变八字、八字变花形，轨迹颜色随频率比渐变。当前频率比实时显示在角落，图形走满一个整周期自动收笔重来。

flowchart TD
A[参数从零走到整周期] --> B[横坐标按横频振动]
B --> C[纵坐标按纵频振动]
C --> D[两点连成轨迹]
D --> E[画布描线]
E --> F{参数到头了吗}
F -- 否 --> A
F -- 是 --> G[闭合收笔]

 fx-lissajous

二、底层原理

利萨如的机关是一对参数方程——横坐标按一个频率振动，纵坐标按另一个频率振动，参数匀速推进，笔尖的轨迹就是两股振动的合成。频率比决定图形的瓣数：一比一是椭圆或斜线，一比二是八字，二比三是双环花。相位差决定图形的倾斜——零相位差退化成直线，九十度相位差在一比一时变成正圆。
实现上注意采样的步长——步子太大轨迹折线感明显，步子太小画不完一圈就掉帧，按画布尺寸取几百到一千步最顺手。坐标换算只做一次缩放平移：把负一到正一的振动区间映射到画布中央。收尾的判断看参数是否走满整圈——整数比走满公倍周期即闭合。

这套机制的代码量不到八十行，难的不是方程，而是频率比和步长的配合——比选得美、步取得细，图形才立得住。

图形的瓣数可以直接从频率比推——横纵频率约成最简整数比之后，分子加分母的和就是瓣数，数学先算一步，美术就不用逐个试。绘制时把参数方程的采样点预计算成数组，每一帧只负责把数组里的点连成线，三角函数的调用集中在预计算那一次，渲染的负担轻到可以忽略——这是表现层代码省性能的标准手法：算一次，画多次。

三、核心代码：完整模块（上·骨架）

-- @file Lissajous.lua
-- 利萨如曲线 —— 双频振动的参数轨迹

local Lissajous = {}

local CONST = {
    FREQ_A        = 3,
    FREQ_B        = 2,
    RADIUS        = 110,

    AUTOINC_BASE  = 1198300,
}

local _fa       = CONST.FREQ_A
local _fb       = CONST.FREQ_B
local _phase    = 0
local _autoInc  = 0

local function ShowTip(msg)
    if msg and msg ~= "" then SL:ShowSystemTips(msg) end
end

local function GenID()
    _autoInc = _autoInc + 1
    return CONST.AUTOINC_BASE + _autoInc
end

function Lissajous.SetFreqA(n) _fa = n end
function Lissajous.SetFreqB(n) _fb = n end

function Lissajous.GetPoint(t)
    local x = math.sin(t * _fa + _phase)
    local y = math.sin(t * _fb)
    return x, y
end

四、核心代码：完整模块（下·推进与卸载）

SL:ScheduleOnce(function()
    SL:BindDebugButton("横频加一", function()
        _fa = _fa % 5 + 1
        ShowTip("横频:" .. _fa)
    end)
    SL:BindDebugButton("纵频加一", function()
        _fb = _fb % 5 + 1
        ShowTip("纵频:" .. _fb)
    end)
    ShowTip("技能已加载: 利萨如曲线")
end, 1.0)

function Lissajous.Unload()
end

return Lissajous

五、机制问答

问：频率比不是整数比会怎么样？
答：轨迹永不重复——画满一层又错开一层，长时间渲染糊成一片，工程上限定整数比。

问：相位差是干什么用的？
答：给图形转角度——零度是标准姿态，九十度在等频时变成正圆，调相位就是转图形。

问：采样步长取多少合适？
答：几百到一千步——太疏折线感重，太密白花时间，按画布大小微调。

问：和圆有什么关系？
答：等频同相是斜线，等频九十度相位差是正圆——圆是利萨如家族的特例。

问：游戏里哪里用得上？
答：魔法阵纹样、轨迹光效、背景装饰、音游波形——一切要规律又不对称的图案都是它的地盘。

六、调参与实战怎么用

参数层面就三个量——横频、纵频、相位。先定频率比再调相位，次序反了会在错的图形上白调半天。实战里这类机制是纯装饰层，性能预算给得极少，采样点预计算成数组，每帧只描线不重算三角函数。常见坑两个：三角函数的参数忘了换算成弧度，图形直接畸形；画布纵横比不是正方形，正圆画成椭圆——记得按短边归一。

补充一个设计层面的思考——这类机制的核心难点不在于代码怎么写，而在于"什么时候触发、触发后做什么、做完了怎么收场"这三个问题的答案。答案清楚了，代码只是把答案翻译成脚本的过程；答案含糊，写出来的东西改来改去都在原地打转。动手前先把这三个问题各用一句话答出来，答不出的那个就是设计缺口，先补设计再动手。

补充一个维护层面的思考——所有的状态变量都收在模块的闭包里，不摆到全局表。全局表的变量在热重载时会残留旧值，闭包的变量每次加载都是新的，这层隔离是热重载环境里防事故的第一道墙。卸载入口要把定时器、连接、标记一揽子清干净，清不干净的下场就是旧事故原样重演。这篇的模块照抄能跑，改的就是参数表。

补充一个工程层面的思考——模块的可测试性和耦合度成反比。耦合越低越能单独验证，越高越要整套环境才能跑起来。降耦合的通用手法是依赖注入：框架接口通过参数传进来，而不是在模块里直接调死，验证的时候传一组假接口就能脱离框架独立运行。平时多花一分钟做注入，排查的时候省下的是一整晚。

写完留一句给做表现系的同学：两股振动拧成一股绳——频率比选对，笔尖自己会画出花纹。